DIVISIBILIDAD

DIVISIBILIDAD
Desde hace mucho tiempo, el hombre se ha visto ante la necesidad de tener que repartir cantidades de cosas entre personas, dándole a cada una el mismo número de unidades.

A través de la práctica el hombre descubrió que este problema a veces sí tenía solución y a veces no. Este hecho hizo que se estudiase que relación se encontraba entre los números en los que este problema sí tenía solución y los números en los que no. De esta forma comenzó a estudiarse la divisibilidad.

Definición
Un número a se puede dividir por otro número b (o también, a es divisible por b), cuando con el número de unidades que indique el número a se puedan hacer tantos números como indique el número b, teniendo todos estos grupos el mismo número de unidades.

NUMEROS PRIMOS

Un número es primo cuando es entero positivo, distinto de 0 y 1 y que únicamente se puede dividir por sí mismo y por 1 para dar una solución exacta (por tanto, para todos los otros números por los que intentemos dividir el número primo no dará solución exacta)

Ejemplos:
Divisores de 3= {1, 3} => es primo
D(7)={1, 7} => es primo
D(9)={1, 3, 9} => no es primo, es divisible por 3 además de 1 y 9


MINIMO COMUN MULTIPLO

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo de todos ellos. Sólo se aplica con números naturales, es decir, no se usan decimales ni números negativos.

Aplicaciones del m.c.m.

Suma de fracciones

El m.c.m. se puede emplear para sumar fracciones de distinto denominador, en el ejemplo, para poder efectuar la suma, se debe buscar el mínimo común múltiplo entre los divisores (6 y 33) que corresponde al número 66, luego se amplifican las fracciones y es posible la suma:

Expresiones algebraicas

El m.c.m. para dos expresiones algebraicas, corresponde a la expresión algebraica de menor coeficiente numérico y de menor grado que es divisible exactamente por cada una de las expresiones dadas. Esta teoría es de suma importancia para las fracciones y ecuaciones.^[1]

MAXIMO COMUN DIVISOR
En matemáticas el máximo común divisor (abreviado mcd o m.c.d.) de dos o más números enteros es el mayor número que los divide sin dejar resto.

Cálculo del MCD
Los dos métodos más utilizados para el cálculo del máximo común divisor de dos números son:

Descomposición en factores primos

El máximo común divisor de dos números puede calcularse determinando la descomposición en factores primos de los dos números y tomando los factores comunes elevados a la menor potencia, el producto de los cuales será el mcd. Por ejemplo, para calcular el máximo común divisor de 48 y de 60 obtenemos la factorización en factores primos
De las factorizaciones de 48 y 60:

Aplicaciones
El m.c.d. se utiliza para simplificar fracciones. Por ejemplo, para simplificar la fracción se calcula primero el mcd(60, 48) = 12, dividiéndose el numerador y el denominador de la fracción inicial por 12 para obtener la fracción simplificada .
El m.c.d. también se utiliza para calcular el mínimo común múltiplo de dos números. En efecto, el producto de los dos números es igual al producto de su máximo común divisor por su mínimo común múltiplo. 

HISTORIA DE LAS MATEMATICAS

• una primera etapa fue la greco-romana, donde la griega fue mas sustantiva y significativa para las ciencias y las matematicas.
• la segunda etapa: la epoca medieval donde hubo escaso desarrollo social y cientifico
• una tercera etapa: el en renacimiento hubo un cambio de actitud frente al conocimiento y la vida
• la cuarta etapa fue la revolucion cientifica
• la quinta etapa surgio del siglo XVIII y parte del XIX, la caracteristica esencial de esta fue el desarrollo de los temas  y metodos matematicas generados en la revolucion matematica y cientifica del siglo XVII, trabajos relacionados con el calculo diferencial e integral
• una sexta etapa se desarrolla en el siglo XIX, los elementos significativos de esta fueron el desarrollo del algebra, la geometria proyectiva, las geometrias no euclidianas y la rigorizacion del analisis y las matematicas en general

EN LA ANTIGUEDAD GRIEGA
los primeros desarrollos de la geometria y las matematicas, en la grecia antigua. Esta cultura fue una base esencial de la civilizacion occidental.
Los pitagoricos consideraban a los numeros como el fundamento del universo; les daban un significado abstracto.
Eudoxo fue uno de los matematicos mas importantes de toda la cultura griega. Es muy conocido por haber desarrollado el llamado metodo exhausion, para aproximar areas geometricas.
La figura matematica mas importante de toda la epoca fue Arquimedes y aproximo el numero  π.

EN LA EDAD MEDIA
La caida de roma en el año 476 se considera como el inicio de la edad media. En esta epoca no habia mucha matematica aunque en el curriculo educativo se le dio enfasis a  las matematicas en el cuadrivium y el trivium. El primero estaba constituido por geometria, aritmetica, astronomia y musica. El trivium: por retorica, gramatica y dialectica. De los matematicos arabes mas distinguidos son Al-Khoarizmi que introdujo el algebra y tambien Omar Khayyam.

RENACIMIENTO Y REVOLUCION CIENTIFICA
El renacimiento arranco en Italia, Francis Bacon, Rene Descartes y Galileo Galilei fueron los principales idealistas de esta etapa. El renacimiento durante esta epoca hubo un interes por las obras griegas de cierta complejidad teorica, pero esto no era muy significativo. La revolucion cientifica busco desarrollar metodos matematicos y cientificos apropiados para poder integrar  una coleccion de resultados en la fisica y en la astronomia que se habian estado generando.

LA GEOMETRIA ANALITICA AL CALCULO
La creacion de la geometria analitica se le atribuye a Pierre de Fermat. La geometria analitica fue decisiva para el desarrollo del calculo diferencial e integral.

EL SIGLO XIX Y LAS NUEVAS MATEMATICAS
Algebra
Una de las grandes creaciones del algebra en el siglo XIX fue la teoria de grupos por Evariste Galois. Galois usando ideas asi tambien como Joseph Lagrange y Paolo Ruffini expresaron las propiedades fundamentales de lo que se suele llamar el grupo de transformaciones de las raices de una ecuacion algebraica. 

LA HISTORIA DE LOS NUMEROS ENTEROS

Antes de empezar hablar de los numeros enteros, tenemos que saber ¿que es un numero?, matematicamentese dice que es un concepto que expresa cantidad, sucede lo mismo con su plural numeros o numero sigue siendo lo mismo conceptualmente. ya despues de haber dado un concepto un tanto claro acerca de numero (s), y diremos que los numeros enteros (z) son una generalizacion del conjunto de numeros naturales. Estos a su vez se dividen en enteros positivos o tambien llamados naturales, los enteros negativos y el cero.

los numeros negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades, un ejemplo podria ser la dinamica entre un deudor y un cobrador.
Se llama valor absoluto de un numero entero a un numero neutral que se designa y que es igual al propio. El absoluto de un numero es siempre positivo. Las operaciones suma, resta y multiplicacion de numeros enteros son operaciones internas porque su resultado es tambien un numero entero. Sin embargo, sin embargo dos numeros enteros solo se pueden dividir si el dividendo es multiplo del divisor.

Suma de numeros enteros
para sumar dos numeros enteros se procede de la siguiente forma:

• si tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos y al resultado se le pone el signo que tenian los sumandos

7+11=18
-7-11=-18

• si tienen distintos signos, es decir, si un numero sumando es positivo y el otro es negativo se restan sus valores absolutos y se le pone el signo mayor.

7+(-5)=7-5=2
-7+5=-(7-5)=-2
14+(-14)=0

• la suma de enteros tiene las siguientes propiedades:

asociativa: (a+b)+c=a+(b+c)
conmutativa: a+b=b+a
su elemento neutro: 0     a+0=a
su elemento opuesto: a+(-a)=0

resta de numeros enteros
para restar dos numeros enteros se le suma al minuendo el opuesto del sustraendo:
a*b=a+(b)
por ejemplo: 5-(-3)= 5+3=8
                       -2-5=(-2)+(-5)=-7